与SL（n，Z）上Maass尖形式的傅立叶系数有关的指数和的估计及相关结果

【摘要】在解析数论中SL(n,Z)上尖形式的傅立叶系数的性质是个非常重要的研究课题,著名的Ramanujan-Petersson猜想仍然是个没有解决的问题.这个猜想是说任何一个尖形式的第n个傅立叶系数的上界都不会超过nε,其中￡>0是任意小的数.对于SL(2，Z)上的全纯尖形式,1974年Deligne把这个猜想当做Weil猜想的一个推论给出了证明([5]).但是对于SL(2,Z)上其它的尖形式以及SL(n,Z)(n≥3)上的尖形式,这个问题仍然没有解决.但是从这些傅立叶系数的平均取值来看,Ramanujan-Petersson猜想是成立的.例如,设f是SL(2,Z)上的Maass尖形式,则有下面的估计([10])：其中λf(n)是SL(2,Z)上尖形式f正规化后的傅立叶系数.这表明尖形式的傅立叶系数具有很强的振荡性.因此虽然对单个傅立叶系数还不能证明猜想的一致上界,但是它们的均值却往往有很好的上界估计.这些均值估计有很好的应用并且通过均值估计可以对傅立叶系数有更深刻地理解.最近任和叶在文章[26]中考虑了形如的指数和估计,其中λf(n)是SL(2,Z)上权为k的全纯尖形式正规化后的傅立叶系数,证明了当β≠1/2时此指数和上界为并且在β=1/2而且|α|接近于2√q(q是正整数)时有渐近公式.对于f(n)是SL(2.Z)上Maass尖形式的情形,文章[26]中没有给出估计.在本文中,我们将首先考虑这个问题,即估计如下形式的指数和：其中e(z)=e2πiz,λg(n)是SL(2,z)上特征值为1/4+r2的Maass尖形式正规化后的傅立叶系数.我们的主要结果如下：定理1.1设X>1,0<β<1.如果|α|βXβ<√X/2,则有估计如果|α｜βXβ≥√X/2,则有其中εα,q=1或0取决于是否存在整数q满足||α|-2√q|≤X-1/2且1≤|α|<√X.上式中特别地,对于任意的整数1≤q<X/4,我们有我们注意到,此定理中第一种情况的上界为X71/192+ε,这里71/192是由单个傅立叶系数的上界得到的.我们知道对于全纯的尖形式,Ramanujan-Petersson猜想是成立的,即对任意的ε>0,有λf(n)《nε.但是对于Maass尖形式,我们所知道的最好的上界是([18])λg(n)≤n7/64+ε,定理1.1的71/192即由此上界得到.如果Maass尖形式的Ramanujan-Petersson猜想成立,则我们可以得到跟全纯尖形式一样好的上界.定理1.1的证明方法与[26]中证明全纯尖形式的方法类似.所用到的主要工具为Voronoi公式,以及贝塞尔函数的渐近展开等.通过定理1.1的证明方法我们发现,对于有类似的Voronoi公式的其它算术函数,我们也可以考虑有关的指数函数和的估计,并证明类似地结果.在本文中我们考虑了除数函数τ(n)以及算术函数给出下面两个定理：定理1.2如果|α|βXβ<√X/2,则有如果|α|βXβ≥√X/2,则有其中ε,αq和d(α,q)如定理1.1中所定义.特别地,对任意的整数1≤q<X/4,我们有定理1.3如果|α|βXβ<√X/2,则有如果”|α|βXβ≥√X/2，则有其中εα,q*＝1或0取决于是否存在q满足｜α｜-/q｜≤√X-1/2且1≤｜α｜<√X/4。特别地,对于整数1≤q<X/16,我们有利用证明定理1.2和定理1.3的估计方法,我们发现于全纯的尖形式,我们可以将文[26]中的结果进行改进,即有如下定理：定理1.4假设f(z)是SL(2,Z)上权为k的全纯尖形式,Af(n)是f(z)的n阶傅立叶系数.如果|α|βXβ<√X/2,则有如果｜｜αβXβ≥√X/2,则当β≠1/2时,有与[26]中的结果相比较,在定理1.4中我们把上界由改进到了X1/3+ε本文的第二部分内容将考虑SL(3,Z)上的Maass形式f的傅立叶系数Af(m,n)有关的如下加权指数和：其中Φ(x)是光滑紧支函数,支集为[1/4,5/4]上,在区间[1/2,1]上恒为1,并且导数满足：对这个问题,任和叶[28]证明了当0.时,这里隐含的常数依赖于f,A和β的.利用文[28]中的方法并结合Pitt([25])的方法,我们将证明如下定理：定理1.5设f是SL(3,Z)上的Maass尖形式,Af(m,n)为f的傅立叶系数,X>9.如果则对任意大的A和任意小的ε>0,我们有这里隐含的常数仅依赖于f,A和ε定理1.5的证明需要用SL(3,Z)上的Voronoi公式及其渐近展开以及δ符号的性质等.本文第一章将简单介绍SL(2,Z)以及SL(3,Z)上Maass形式及其傅立叶系数,并给出我们的主要结果.第二章将给出定理1.2-1.4的证明,第三章将给出定理1.5的证明.
【作者】吴远莹；
【导师】任秀敏；
【作者基本信息】山东大学，基础数学，2014，博士
【关键词】Maass形式；傅立叶系数；指数和；Voronoi求和公式；

【参考文献】
[1]何怡婧.旬邑县城乡居民基本医疗保险一体化研究[D].西北大学,社会保障,2013,硕士.
[2]黄一农.重组双功能水蛭素结构与功能研究及新型直接凝血酶抑制剂的设计[D].复旦大学,生物化学与分子生物学,2013,博士.
[3]赵新节1,高中杰2,韩宁1,赵月玲3,张家荣1,刘胜1,刘品何1.中早熟葡萄新品种‘红翠’[J].园艺学报,2014,07:.
[4]岳丰.北京轨道交通指挥中心数据仓库系统ETL的设计与实现[D].北京交通大学,软件工程（专业学位）,2013,硕士.
[5]胡望淼.光伏并网微逆变器的研究[D].南京航空航天大学,电力系统及其自动化,2013,硕士.
[6]姜晶.蛋白核小球藻对重金属的吸附及其机理的研究[D].浙江工业大学,2012.
[7]何玉龙.中小玩具企业内销品牌塑造研究[D].天津科技大学,设计艺术学,2010,硕士.
[8]彭学秀.贪污罪的实践难题及解决[D].辽宁大学,刑法学,2012,硕士.
[9]李卢玉.武汉市高校大学生网球运动的SWOT分析[D].华中师范大学,体育教育训练学,2014,硕士.
[10]田荣胜.思想政治课教学改革与学生主体性发展研究[D].华东师范大学,教育,2001,硕士.
[11]韦泽元.我国社会保障基金投资的策略分析[D].对外经济贸易大学,金融学,2004,硕士.
[12]李洁.清末民政部初探[D].湖南师范大学,专门史,2014,硕士.
[13]杜金亮.近代中国律师制度的产生及其发展[D].青岛大学,法律史,2013,硕士.
[14]王元刚.面向Agent个体的信念修正系统设计与实现[D].大连海事大学,计算机技术,2014,硕士.
[15]吴昊,杨建军.数据挖掘在质量管理中的应用[J].精密制造与自动化,2005,02:16-18+59-3.
[16]张新月.深交所信息披露考评制度对上市公司盈余管理的影响研究[D].河北经贸大学,会计学,2012,硕士.
[17]周晖.基于模糊PI控制的永磁同步电机矢量控制系统实现及性能研究[D].浙江大学,2006.
[18]乞超.不同产地的大戟科狼毒的质量分析和比较[D].湖北中医药大学,药物化学,2013,硕士.
[19]赵巍.城市规划中的文化遗产及历史建筑保护研究[D].吉林大学,项目管理,2014,硕士.
[20]邢雁鹏.AFP阳性胃癌的临床病理特点及预后分析[D].吉林大学,临床医学,2013,硕士.
[21]祝卫东,张瑛颖,李建华.原型观测在浙医一院桩基工程中的应用[J].金华职业技术学院学报.2001(03)
[22]宁昊.单层混凝土工业厂房纵向抗震理论研究[D].北京交通大学,结构工程,2013,硕士.
[23]晏亭太.智能自适应PID/PD控制器设计及仿真研究[D].哈尔滨工业大学,控制科学与工程,2014,硕士.
[24]郭茂香.硅基高深宽比结构静电式MEMS电容器制造与性能测试研究[D].中北大学,微电子学与固体电子学,2013,硕士.
[25]李湛.制度与记忆：南朝宋宫廷音乐的重建[D].西南大学,音乐与舞蹈学,2013,硕士.
[26]胡轩昂.浙江省某高校建筑能耗评价指标及其能耗分析研究[D].浙江大学,2014.
[27]张英杰.木材防腐干燥特性及一体化研究[D].北京林业大学,2010.
[28]李明.大功率充电电源及其并联均流技术的研究[D].北京交通大学,2009.
[29]李清川.基于小波包和最小二乘支持向量机的异步电机故障诊断[D].中国矿业大学,电力电子与电力传动,2014,硕士.
[30]本报记者杨玉宝<<统计教育>>杂志记者李宝慧特邀嘉宾:国家统计局统计教育中心主任王吉利上海财经大学教授张尧庭.数据淘金统计学的新进展[N].中国信息报,2001-02-21007.
[31]韩欣丽.内关穴位注射香丹注射液预处理对大鼠急性心肌缺血ICAM-1及NF-κB的影响[D].成都中医药大学,针灸推拿学,2012,硕士.
[32]曾彪.单中心上下半野照射在胸中上段食管癌放疗中的应用[D].清华大学,生物医学工程（专业学位）,2013,硕士.
[33]晏丽苹.脑白质疏松与眼底血管病变的相关性[D].山西医科大学,神经病学,2013,硕士.
[34]马晓平.石墨烯的化学气相沉积法制备[D].浙江大学,2013.
[35]赵利鼎.某矿复垦可行性评价研究[D].内蒙古科技大学,矿业工程（专业学位）,2014,硕士.
[36]沐维维.硅量子点/二氧化硅多层结构的直流与交流电致发光及掺杂研究[D].南京大学,微电子学与固体电子学,2013,硕士.
[37]孔令石.论萧红小说的叙事节奏[D].扬州大学,中国现当代文学,2011,硕士.
[38]马嵘.新疆少数民族中学“体育与健康”课程教学的现状及对策研究[D].新疆师范大学,2004.
[39]韩瑞.教育录播系统项目管理研究[D].山东大学,项目管理（专业学位）,2012,硕士.
[40]张衡.宽频带微波隐身材料的吸波性能研究[D].西安电子科技大学,材料物理与化学,2012,硕士.
[41]毛宗磊.重组腺病毒介导的人ING4基因对胃癌多药耐药细胞株SGC7901/CDDP耐药逆转机制的体内外实验研究[D].苏州大学,普通外科学（专业学位）,2014,硕士.
[42]王成山,于波,肖峻,郭力.平滑微电网联络线功率波动的储能系统容量优化方法[J].电力系统自动化,2013,03:12-17.
[43]崔卫荣.前列腺癌相关lincRNAs功能的生物信息学分析[D].苏州大学,系统生物学,2014,硕士.
[44]蒋华,刘军,原海军,周洪,李东海.盾构始发中的玻璃纤维筋应用研究[J].市政技术,2014,06:79-82+86.
[45]汪胜平,徐慎刚,裴福云,吕晶,路瑞娟,曹少魁.染料修饰石墨烯/二氧化钛杂化材料的制备及其光催化降解有机物[A].河南省化学会.河南省化学会2012年学术年会论文摘要集[C].河南省化学会:,2012:1.
[46]李卓林.《三字经》研究[D].东北师范大学,中国古典文献学,2012,硕士.
[47]张然,钱德沛,张文杰,刘轶,栾钟治.入侵检测技术研究综述[J].小型微型计算机系统,2003,07:1113-1118.
[48]文志强,朱艳辉,彭召意.粒子滤波目标跟踪中的有效粒子数控制方法[J].控制与决策,2013,09:1349-1354+1360.
[49]周佳骥,宋文波,刘宏马.石墨烯——未来材料之星[J].物理与工程,2011,02:57-59.
[50]倪彪,周浩.发电报价系统设计与应用[J].电力系统自动化,2005,01:10-12+33.